Interpolasi Polinom

 Nama : Defina Rahayu

Program Studi : Teknik Informatika

STMIK WIDYA UTAMA

Sebuah pengukuran fisika telah dilakukan untuk menentukan hubungan antara tegangan yang diberikan kepada baja tahan-karat dan waktu yang diperlukan hingga baja tersebut patah.
Persoalan: Berapa waktu patah y jika tegangan x yang diberikan kepada baja adalah 12 kg/mm2.
Solusinya dicari dengan metode pencocokan kurva .Yaitu mencari fungsi yang mencocokkan titik-titik data di dalam tabel tabel. Pencocokkan kurva adalah sebuah metode yang mencocokkan titik data dengan sebuah kurva fungsi.

Data hasil pengukuran umumnya mengandung derau atau galat yang cukup berarti. Karena data ini tidak teliti, maka kurva yang mencocokkan titik data itu tidak perlu melalui semua titik. Kurva tersebut cukup hanya mewakili kecenderungan titik data, yakni kurva mengikuti pola titik sebagai suatu kelompok. Bila data diketahui mempunyai ketelitian yang sangat tinggi, maka kurva cocokannya dibuat melalui setiap titik. Kita katakan di sini bahwa kita menginterpolasi titik-titik data dengan sebuah fungsi. Bila fungsi cocokan yang digunakan berbentuk polinom, polinom tersebut dinamakan polinom interpolasi. Pekerjaan menginterpolasi titik data dengan sebuah polinom disebut interpolasi polinom.

Setelah polinom interpolasi pn ditemukan, pn dapat digunakan untuk menghitung perkiraan nilai y di x = a, yaitu y = pn.
Bergantung pada letaknya, nilai x = a mungkin terletak di dalam rentang titik-titik data atau di luar rentang titik-titik data jika x0 < a < xn maka yk = p disebut nilai interpolasi jika x0 < xk atau x0 < xn maka yk = p disebut nilai ekstrapolasi .

Interpolasi lanjar adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus.
Misal diberikan dua buah titik, dan .
Dengan menggunakan persamaan interpolasi lanjar diperoleh p1 =179.
= 198.
Jadi, taksiran jumlah penduduk AS pada tahun 1968 adalah 198.

Contoh: Dari data ln = 2.1972, ln = 2.2513, tentukan ln dengan interpolasi lanjar sampai 5 angka bena. Bandingkan dengan nilai sejati ln = 2.2192.
Galat = 2.2192 - 2.2188 = 0.0004. Di sini interpolasi lanjar tidak cukup untuk memperoleh ketelitian sampai 5 angka bena. Ia hanya benar sampai 3 angka benar

Secara umum, penentuan polinom interpolasi dengan cara yang diuraikan di atas kurang disukai, karena sistem persamaan lanjar yang diperoleh ada kemungkinan berkondisi buruk, terutama untuk derajat polinom yang semakin tinggi.  Metode polinom interpolasi yang banyak digunakan dalam komputasi numerik adalah:

1. Polinom Lagrange

2. Polinom Newton

3. Polinom Newton-Gregory (kasus khusus dari polinom Newton)

 

Hampiri fungsi f(x) = cos x dengan polinom interpolasi derajat tiga di dalam selang [0.0, 1.2]. Gunakan empat titik, x₀ = 0.0, x₁ = 0.4, x₂ = 0.8, dan x₃ = 1.2.

Perkirakan nilai p₃(0.5), dan bandingkan dengan nilai sejatinya

Hampiri fungsi f(x) = cos x dengan polinom interpolasi derajat tiga di dalam selang [0.0, 1.2]. Gunakan empat titik, x₀ = 0.0, x₁ = 0.4, x₂ = 0.8, dan x₃ = 1.2. Perkirakan nilai p₃(0.5), dan bandingkan dengan nilai sejatinya.

 

Penyelesaian:

 

xi	0.0	0.4	0.8	1.2
yi	1.000000	0.921061	0.696707	0.362358

 

 

p₃(x)      = a₀ L₀(x) + a₁L₁(x) + a₂L₂(x) + a₃L₃(x)

 

1

=   y      (x - x1 )(x - x2 )(x - x3 )     + y     (x - x1 )(x - x2 )(x - x3 )                    +

0   (x  - x )(x  - x )(x    - x )         (x - x )(x - x )(x - x )

0

1      0         2      0        3                        1        0         1      2        1                        3

 

3

y      (x - x0 )(x - x1 )(x - x3 )     + y     (x - x0 )(x - x1 )(x - x2 )

2 (x  - x )(x    - x )(x    - x )         (x  - x )(x     - x )(x   - x )

2

0       2        1      2        3                      3         0        3      1        3                      2

 

 

= 1.000000

(x - 0.4)(x - 0.8)(x - 1.2)

(0.0 - 0.4)(0.0 - 0.8)(0.0 - 1.2) +

 

0.921061

(x - 0.0)(x - 0.8)(x - 1.2)

(0.4 - 0.0)(0.4 - 0.8)(0.4 - 1.2) +

(x - 0.0)(x - 0.4)(x - 1.2)

0.696707

 

0.362358

(0.8 - 0.0)(0.8 - 0.4)(0.8 - 1.2) +

(x - 0.0)(x - 0.4)(x - 0.8)

(1.2 - 0.0)(1.2 - 0.4)(1.2 - 0.8)

p3 (x)

= -2.604167(x - 0.4)(x - 0.8)(x -1.2) + 7.195789(x - 0.0)

 

(x - 0.8)(x -1.2) - 5.443021(x - 0.0)(x - 0.4)(x -1.2)

+ 0.943640(x - 0.0)(x - 0.4)(x - 0.8)

 

Untuk mengurangi galat akibat pembulatan, polinom p₃(x) ini tidak perlu disederhanakan lebih jauh. Kurva y = cos(x) dan y = p₃(x) diperlihatkan pada Gambar berikut:

 

Dengan menggunakan polinom interpolasi p₃(x) itu kita dapat menaksir nilai fungsi di x = 0.5 sebagai berikut:

 

p₃(0.5) = -2.604167(0.5 - 0.4)(0.5 - 0.8)(0.5 - 1.2)

+ 7.195789(0.5 - 0.0)(0.5 - 0.8)(0.5 - 1.2)

-5.443021(0.5 - 0.0)(0.5 - 0.4)(0.5 - 1.2)

+ 0.943640(0.5 - 0.0)(0.5 - 0.4)(0.5 - 0.8)

= 0.877221